Saya akan membahas mengenai fisika matematika, buku yang akan digunakan adalah buku Marry L. Boas, naahh, covernya seperti ini.
Kalau belum punya bukunya Silahkan Download Disini
Oke,, langsung saja kita mulai belajar,, jangan lupa membaca doa agar ilmu nya bermanfaat
Bismillah,,
BAB 3 : Linear Algebra (Aljabar Linier)
Subbab 1 - 2
SubBab 1 | Pendahuluan
Dalam bab ini, kita akan mendiskusikan hubungan dari linier dengan geometri yang berperan penting dalam banyak aplikasi. Kita ketahui bahwa dalam banyak permasalahan medan dalam sains dan matematika melibatkan penyelesaian persamaan linier. Misalnya kita memiliki dua persamaan linier yang harus dipecahkan yang memiliki nilai x = 2 dan y = -3. Kita dapat membuat dari x = 2, y = -3 sebagai titik (2,-3) dalam bidang (x,y). Dari dua persamaan linier tersebut menggambarkan dua garis lurus, yang berpenyelesaian pada titik potong kedua garis tersebut. Geometri membuat kita mengerti bahwa setiap persamaan linier pasti memiliki salah satu kondisi yaitu tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi.
Persamaan linier juga banyak digunakan dalam pembelajaran Fisika. Misalnya besaran seperti kecepatan dari suatu objek, gaya yang bekerja pada suatu objek, atau medan magnet pada suatu titik, yang mempunyai besar/nilai dan arah. Besaran seperti ini disebut dengan besaran vektor. Sedangkan massa, waktu, atau suhu hanya memiliki besar/nilai saja sehingga disebut dengan besaran skalar. (Section 4)
SubBab 2 | Matriks
Matriks merupakan representasi dari kumpulan besaran. Secara
umum dapat diartikan bahwa matriks adalah kumpulan besaran-besaran yang disusun
dalam bentuk persegi panjang (rectangular).
Notasi
Matriks
biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom:
Pada
contoh tersebut diatas, matriks mempunyai 2 baris dan 3 kolom. Matriks tersebut
mempunyai 6 buah komponen. Komponen-komponen tersebut berpacu berdasarkan
posisinya pada matriks. Misalnya, komponen baris pertama kolom pertama dari
matriks A dituliskan sebagai A11 atau a11 adalah 1. Sedangkan komponen baris kedua kolom
ketiga dari matriks A dituliskan sebagai A23 atau a23 adalah 6. Untuk lebih lengkapnya:
Jadi
dapat disimpulkan bahwa komponen baris ke-i
kolom ke-j dari matriks A
dinyatakan dengan Aij atau aij .
Transpose Suatu Matriks
Transpose suatu matriks A diperoleh dengan menuliskan baris
matriks A menjadi kolom, sedangkan kolom matriks A menjadi baris. Misalkan
untuk matriks A adalah
Maka transposenya adalah
Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa
Persamaan Linier Dari
Matriks Koefisien
Contoh:
Dimana matriks koefisien dari persamaan
diatas dapat kita sebut sebagai M:
Kemudian hasil dari persamaan tersebut
akan kita sebut sebagai r dan k:
Jika kita menggunakan notasi indeks dan
mengganti x, y, z, menjadi x1, x2, x3, dan k1,
k2, k3 konstan, maka kita dapat menulis persamaan sebagai
berikut:
Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya
bahwa sistem persamaan linier dapat disusun dalam bentuk matriks koefisien. Apa
yang dilakukan pada kumpulan persamaan linier tersebut dapat juga diterapkan
pada matriks yang berkaitan. Dengan sifat kesetaraan tersebut dapat dilakukan
metode reduksi baris untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut. Metode
reduksi baris adalah hanya sebuah jalan sistematis dari hasil kombinasi linier
untuk memberikan hasil persamaan yang lebih sederhana tetapi ekuivalen dengan
kumpulan beberapa persamaan. Berikut adalah contohnya
ü Langkah pertama adalah persamaan yang
satu dapat dieliminasi dengan persamaan yang lain, hal ini juga berlaku untuk
baris matriks tersebut. Dengan demikian bila persamaan kedua dikurangi tiga
kali persamaan pertama:
ü Kurangi persamaan ketiga dengan
persamaan pertama:
ü Susunan persamaan-persamaan tersebut
dapat dipertukarkan satu sama lain. Bila persamaan kedua dan ketiga
dipertukarkan akan diperoleh:
ü Tambahkan persamaan ketiga dengan lima
kali persamaan kedua:
ü Bagi persamaan ketiga dengan 11:
ü Kurangi persamaan kedua dengan ketiga,
kemudian hasilnya dikalikan dengan -1:
ü Tambahkan persamaan satu dengan
persamaan tiga, kemudian hasilnya dibagi dengan dua:
Dari tahapan tersebut akhirnya
diperoleh nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan linier diatas, yaitu x=3/2,
y=-1 dan z=1.
Cara penyelesaian persamaan linier
dengan mengaitkannya dalam bentuk matriks tersebut disebut metode reduksi baris
atau dikenal juga sebagai eliminasi Gauss (Gaussian elimination).
Rank
Matriks
Rank suatu matriks menyatakan bilangan
dari sisa suatu baris yang bukan nol ketika matriks tersebut sudah direduksi
baris. Pada rank matriks ada yang dinamakan dengan rank M dan rank A. Yang mana
rank M itu adalah bilangan dari suatu baris yang memiliki nol, sedangkan rank A
adalah bilangan dari suatu baris yang bukan nol.
Catatan:
ü Jika (rank M) < (rank A),
persamaannya adalah tidak tetap dan tidak ada penyelesaian.
Jadi, rank M < rank A, persamaannya
tidak tetap dan tidak ada solusi.
ü Jika (rank M) = (rank A) = n (angka
tidak diketahui), tidak ada penyelesaian.
Jadi, rank M = rank A, dan tidak
memiliki solusi.
ü Jika (rank M) = (rank A) = R< n,
kemudian R tidak diketahui dapat ditemukan dalam pola dari sisa n-R yang tidak
diketahui.
Contoh:
Dari reduksi matriks diatas,
penyelesaiannya adalah x = 3 + 2z, y = 4 – z. Dari contoh ini kita lihat bahwa
m = 4 (angka persamaan), n = 3 (angka yang tidak diketahui), (rank M) = (rank
A) = R = 2 < n = 3. Kita pecahkan untuk R= 2 tidak diketahui (x dan y) dalam
pola n – R yang tidak diketahui (z).
Sekian untuk penyampaian subbab 1-2 kurang lebihnya mohon maaf
Kita bertemua kembali disubbab berikutnya
See you next time, sayonara ^_^
Kita bertemua kembali disubbab berikutnya
See you next time, sayonara ^_^
Yang bab 4 ada ga kak
BalasHapus